Question

8．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），與橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$相交于AB兩點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），則|FA|•|FB|的最大值為3．

Answer 1

分析 由橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，把直線l方程代入橢圓方程可得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，可得t₁t₂，利用|FA|•|FB|=-t₁t₂，及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入橢圓方程可得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
∴t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，
∴|FA|•|FB|=-t₁t₂=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$≤$\frac{9}{3}$=3，
∴|FA|•|FB|的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．