Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，則f[f（-1）]=$\frac{10}{3}$；函數(shù)f（x）的極小值是2．

Answer 1

分析 運(yùn)用分段函數(shù)的各段的解析式，代入即可得到f（-1），f[f（-1）]，討論x＞0，x＜0，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，
則f（-1）=-1+4=3，
f[f（-1）]=f（3）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)y′＜0，函數(shù)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)y′＞0，函數(shù)遞增，
即有x=1處f（x）取得極小值，且為2，
當(dāng)x＜0，y=-x²-4x的導(dǎo)數(shù)為y′=-2x-4，
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，y′＜0，函數(shù)遞減；
當(dāng)x＜-2時(shí)，y′＞0，函數(shù)遞增．
即有x=-2處f（x）取得極大值，且為4．
故答案為：$\frac{10}{3}$，2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值，同時(shí)考查分段函數(shù)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．