Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，x∈R，a為常數(shù)；
（1）當(dāng)a=1時，判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）是R上的增函數(shù)．

解答 （1）解：a=1時，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-f（x），
f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明如下：對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．