Question

7．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁與側(cè)面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥CC₁；
（Ⅱ）若$A{B_1}=\sqrt{6}$，求平面CAB₁與平面A₁AB₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC₁，CB₁，取CC₁中點(diǎn)O，連OA，OB₁，可得CC₁⊥OA，CC₁⊥OB即可得CC₁⊥平面OAB₁，CC₁⊥AB₁
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA⊥OB₁．如圖所示，分別以O(shè)B₁，OC₁，OA為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，-1，0），${B_1}（\sqrt{3}，0，0）$，$A（0，0，\sqrt{3}）$，利用向量法求解．

解答 （Ⅰ）證明：連AC₁，CB₁，則△ACC₁和△B₁CC₁皆為正三角形．
取CC₁中點(diǎn)O，連OA，OB₁，則CC₁⊥OA，CC₁⊥OB，…（2分）
則CC₁⊥平面OAB₁，則CC₁⊥AB₁…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$OA=O{B_1}=\sqrt{3}$，又$A{B_1}=\sqrt{6}$，所以O(shè)A⊥OB₁．
如圖所示，分別以O(shè)B₁，OC₁，OA為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，…（7分）
則C（0，-1，0），${B_1}（\sqrt{3}，0，0）$，$A（0，0，\sqrt{3}）$，
設(shè)平面CAB₁的法向量為$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
因為$\overrightarrow{A{B_1}}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（0，-1，-\sqrt{3}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}+0×{y_1}-\sqrt{3}{z_1}=0\\ 0×{x_1}-{y_1}-\sqrt{3}{z_1}=0\end{array}\right.$
取$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，1）$…（9分）
面AA₁B₁的法向量取$\overrightarrow n=（1，0，1）$，…（10分）
則$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{2}{{\sqrt{5}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，…（11分）
平面CAB₁與平面A₁AB₁所成的銳二面角的余弦值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了空間線線垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題，