Question

20．已知$f（x）=|3x+\frac{1}{a}|+3|x-a|$．
（1）若a=1，求f（x）≥8的解集；
（2）對任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用“零點分段法”解不等式|3x+1|+|3x-3|≥8，分成三段求解，再綜合；
（2）運用絕對值三角不等式和基本不等式求參數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|3x+1|+|3x-3|，
采用“零點分段法”解不等式|3x+1|+|3x-3|≥8如下：
①當(dāng)x≥1時，3x+1+3x-3≥8，解得，x≥$\frac{5}{3}$；
②當(dāng)-$\frac{1}{3}$≤x＜1時，3x+1-3x+3≥8，不等式無解；
③當(dāng)x＜-$\frac{1}{3}$時，-3x-1-3x+3≥8，解得，x≤-1，
綜合以上討論得，原不等式的解集為：（-∞，-1]∪[$\frac{5}{3}$，+∞）；
（2）∵不等式f（x）≥m恒成立，∴f（x）_min≥m，
根據(jù)絕對值三角不等式得，|3x+$\frac{1}{a}$|+|3x-3a|≥|$\frac{1}{a}$+3a|，
即f（x）_min=|$\frac{1}{a}$+3a|，且a＞0，
所以，$\frac{1}{a}$+3a≥m，
根據(jù)基本不等式，$\frac{1}{a}$+3a≥2$\sqrt{3}$，
所以，m≤2$\sqrt{3}$，
即實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，涉及零點分段法，以及含絕對值的不等式恒成立問題的解法，用到絕對值三角不等式和基本不等式，屬于中檔題．