Question

有以下命題：
①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心（

.

x

，

.

y

），且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)．
③已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ²），P（ξ≤4）=0.79，則P（ξ≤-2）=0.21；
④函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的圖象的切線的斜率的最大值是-2；
⑤函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x的零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)；
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①存在x∈R，在其否定中應(yīng)寫為?x∈R，x²-x-2≥0的否定為x²-x-2＜0；②回歸直線方程的求解過程中，用到a=

y

-

b

x，說明回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)；③根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1，σ²），看出這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸x=1，根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，得到P（ξ≤-2）=P（ξ≥4）=1-P（ξ≤4），得到結(jié)果；④先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后借助于不等式求出導(dǎo)函數(shù)的最大值為-2；⑤由f（

1

3

）和f（

1

2

）的乘積符號(hào)小于0，可知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)．

解答： 解：①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“任意x∈R，x²-x-2＜0”，①錯(cuò)誤；
②只能肯定線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心（

.

x

，

.

y

），不一定過樣本點(diǎn)，②錯(cuò)誤；
③∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1，σ²），∴μ=1，∴P（ξ≤-2）=P（ξ≥4）=1-P（ξ≤4）=0.21，③正確；
④函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^x+

1

ex

）≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)e^x=

1

ex

，即e^x=1，x=0時(shí)取等號(hào)，所以命題④正確；
⑤函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x，因?yàn)閒（

1

3

）=（

1

3

） 

1

3

-（

1

2

） 

1

2

＜0，f（

1

2

）=（

1

2

） 

1

3

-（

1

2

） 

1

2

＞0，所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)，所以命題⑤正確；
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評：判斷命題的真假，看由條件能否推出結(jié)論，若能，則該命題為真命題，否則為假，有時(shí)直接判斷原命題困難時(shí)，可判其逆否命題的真假，因?yàn)橐粋�(gè)命題與其逆否命題共真假．