Question

7．為了解某校高三畢業(yè)班報(bào)考體育專(zhuān)業(yè)學(xué)生的體重（單位：千克）情況，將他們的體重?cái)?shù)據(jù)整理后得到如下頻率分布直方圖．已知圖中從左至右前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數(shù)為12．
（Ⅰ）求該校報(bào)考體育專(zhuān)業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)n；
（Ⅱ）已知A，B，C，a是該校報(bào)考體育專(zhuān)業(yè)的4名學(xué)生，A，B，C的體重小于55千克，a的體重不小于70千克．且A，B各有5分體育加分，C，a各有10分體育加分．其他學(xué)生無(wú)體育加分，從體重小于55 千克的學(xué)生中抽取2人，從體重不小于70千克的學(xué)生中抽取1人，組成3人訓(xùn)練組，訓(xùn)練組中3人的體育總加分記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率=$\frac{頻數(shù)}{樣本容量}$，即可求出n的值；
（Ⅱ）計(jì)算體重小于55千克的人數(shù)與體重不小于70千克的人數(shù)，得出ξ的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，列出ξ的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)該校報(bào)考體育專(zhuān)業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為n，前3個(gè)小組的頻率分別為p₁、p₂、p₃，
則由題意知，p₂=2p₁，p₃=3p₁，p₁+p₂+p₃+（0.0375+0.0125）×5=1，
解得p₁=0.125，p₂=0.25，p₃=0.375；
又因?yàn)閜₂=0.25=$\frac{12}{n}$，解得n=48；
（Ⅱ）由題意，報(bào)考體育專(zhuān)業(yè)的學(xué)生中，體重小于55千克的人數(shù)為48×0.125=6，
記它們分別為A、B、C、D、E、F，
體重不小于70千克的人數(shù)為48×0.0125×5=3，分別記為a、b、ξ；
則ξ=0，5，10，15，20，25；
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{15}$，P（ξ=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}{+C}_{1}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{11}{45}$，
P（ξ=15）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=20）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$+$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{45}$，
P（ξ=25）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{45}$，
則ξ的分布列為

ξ	0	5	10	15	20	25
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{11}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{45}$	$\frac{2}{45}$

ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{2}{15}$+5×$\frac{4}{15}$+10×$\frac{11}{45}$+15×$\frac{2}{9}$+20×$\frac{4}{45}$+25×$\frac{2}{45}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題目．