Question

2．（文）如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：AC⊥平面BDEF．
（2）求證：FC∥平面EAD．
（3）設(shè)AD=1，求V_E-BCD．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC，BD交于點O，連結(jié)OF，由三線合一可得FO⊥AC，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，故而AC⊥平面BDEF；
（2）取AE，AF的中點M，N，連結(jié)DM，MN，ON，可證四邊形ODMN是平行四邊形，故而ON∥DM，又由中位線得力得FC∥ON，于是FC∥DM，從而FC∥平面EAD；
（3）由題意可得△ABD，△BDF，△BCD是邊長為1的等邊三角形，于是FO⊥BD，又FO⊥AC，得出FO⊥平面ABCD，于是V_E-BCD=V_F-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•FO$．

解答 證明：（1）連結(jié)DF，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，O是AC，BD的中點，
∵FA=FC，
∴FO⊥AC，
又∵DB?平面BDEF，F(xiàn)O?平面BDEF，DB∩FO=O，
∴AC⊥平面BDEF．
（2）取AE，AF的中點M，N，連結(jié)DM，MN，ON，
∵MN是△AEF的中位線，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}EF$，
∵四邊形BDEF是菱形，O是BD的中點，
∴OD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}EF$，
∴四邊形ODMN是平行四邊形，
∴ON∥DM，
∵ON是△AFC的中位線，
∴ON∥FC，
FC∥DM，又DM?平面EAD，F(xiàn)C?平面EAD，
∴FC∥平面EAD．
解：（3）∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AD=1，
∴△ABD，△BDF，△BCD是邊長為1的等邊三角形，
∴FO⊥BD，F(xiàn)O=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△BCD=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又FO⊥AC，BD?平面ABCD，AC?平面ABCD，AC∩BD=O，
∴FO⊥平面ABCD．
∴V_E-BCD=V_F-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•FO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．