【題目】已知橢圓的左右焦點為,是橢圓上半部分的動點,連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于,兩點(點的上方或重合).

(1)當(dāng)面積最大時,求橢圓的方程;

(2)當(dāng)時,若是線段的中點,求直線的方程;

(3)當(dāng)時,在軸上是否存在點使得為定值,若存在,求點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在,點,使得為定值.

【解析】

1)由題意可得點A與點B重合時,面積最大,借助基本不等式即可求出b的值,可得橢圓方程;
2)設(shè)出點,則,,求出點A的坐標(biāo),點B的坐標(biāo),根據(jù)B是線段的中點,用中點坐標(biāo)公式列方程,可得M點坐標(biāo),進(jìn)而求出直線的方程;
3)設(shè),,求出點A的坐標(biāo),根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出

解:(1)由已知:

,

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立;

則:,

此時橢圓方程為:;

(2)點軸或其左側(cè),則圖形如本題圖,設(shè),那么:

,

得:,

是線段的中點,

則:

解得:,則,

則:,即:;

(3),設(shè),,

若點軸左側(cè),則同上,,

,

,

此時,,;

綜上,故存在點使得為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異).

(1)當(dāng)9列列車同時在內(nèi)環(huán)線上運行時,要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘,求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度;

(2)新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時.現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行,要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘,向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?

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【題目】一個口袋中裝有9個大小形狀完全相同的球,球的編號分別為1,2,…,9,隨機(jī)摸出兩個球,則兩個球的編號之和大于9的概率是______(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

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【題目】31屆夏季奧林匹克運動會于201685日至821日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行.如表是近五屆奧運會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位:枚).

30屆倫敦

29屆北京

28屆雅典

27屆悉尼

26屆亞特蘭大

中國

38

51

32

28

16

俄羅斯

24

23

27

32

26

(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)在答題卡上完成近五屆奧運會兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計算出具體數(shù)值,給出結(jié)論即可);

(2)如表是近五屆奧運會中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和(從第26屆算起,不包括之前已獲得的金牌數(shù))隨時間變化的數(shù)據(jù):

時間(屆)

26

27

28

29

30

金牌數(shù)之和(枚)

16

44

76

127

165

作出散點圖如圖:

由圖可以看出,金牌數(shù)之和與時間之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請求出關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測從第26屆到第32屆奧運會時中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和為多少?

附:對于一組數(shù)據(jù), ,…, ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,

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【題目】A,B,C,…7人擔(dān)任班級的7個班委.

(1)若正、副班長兩職只能由A,B,C這三人中選兩人擔(dān)任,則有多少種分工方案?

(2)若正、副班長兩職至少要選A,B,C這三人中的1人擔(dān)任,有多少種分工方案?

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【題目】如圖在△AOB中,∠AOB=90°,AO=2,OB=1,△AOC可以通過△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到,且OBOC,點D為斜邊AB的中點.

1)求異面直線OBCD所成角的余弦值;

2)求直線OB與平面COD所成角的正弦值.

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【題目】某熱力公司每年燃料費約24萬元,為了“環(huán)評”達(dá)標(biāo),需要安裝一塊面積為)(單位:平方米)可用15年的太陽能板,其工本費為(單位:萬元),并與燃料供熱互補(bǔ)工作,從此,公司每年的燃料費為為常數(shù))萬元,記為該公司安裝太陽能板的費用與15年的燃料費之和.

(1)求的值,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求的最小值,并求出此時所安裝太陽能板的面積.

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【題目】某中學(xué)高三年級有400名學(xué)生參加月考,用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本,得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.

1)求第四個小矩形的高;

2)估計本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù);

3)已知樣本中,成績在內(nèi)的有兩名女生,現(xiàn)從成績在這個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取2人做學(xué)習(xí)交流,求恰好男生女生各有一名的概率.

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【題目】已知為常數(shù),函數(shù)

1)過坐標(biāo)原點作曲線的切線,設(shè)切點為,求;

2)令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),求的取值范圍.

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