Question

3．公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的部分項a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，a${\;}_{{k}_{3}}$…構(gòu)成等比數(shù)列{a${\;}_{{k}_{n}}$}，且k₁=1，k₂=2，k₃=6，則k₅=86．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由題意可得a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，由此得到首項和公差的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式分別求出${a}_{{k}_{5}}$，然后列等式求得k₅ ．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由題意可得，在等差數(shù)列{a_n}中，有a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，
則$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，即d=3a₁，
∴等比數(shù)列{a_kn}的首項為a₁，公比為$\frac{{a}_{{k}_{2}}}{{a}_{{k}_{1}}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}=4$，
則${a}_{{k}_{5}}={a}_{{k}_{1}}•{q}^{4}={a}_{1}•{4}^{4}=256{a}_{1}$，
又${a}_{{k}_{5}}={a}_{1}+（{k}_{5}-1）d$，
∴a₁+（k₅-1）d=256a₁，解得：k₅=86．
故答案為：86．

點評 本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題，考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．