Question

11．設(shè)f（x）是定義域為R的具有周期2π的奇函數(shù)，且f（3）=f（4）=0，則f（x）在區(qū)間[0，8]中至少有7個零點．

Answer 1

分析 由函數(shù)為定義域為R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，結(jié)合已知得到f（-3）=0，f（-4）=0，再由周期得到f（2π）=0，f（-3+2π）=0，f（-4+2π）=0，由周期性與奇偶性結(jié)合得到f（π）=0．

解答 解：∵f（x）是定義域為R的具有周期2π的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，則f（2π）=f（0）=0，
又f（3）=f（4）=0，則f（-3）=0，f（-4）=0，
∴f（-3+2π）=0，f（-4+2π）=0，
又f（-π）=f（-π+2π）=f（π）=-f（π），
∴f（π）=0．
∴f（x）在區(qū)間[0，8]中至少有零點：0，2π-4，3，π，2π-3，4，2π，共7個．
故答案為：7．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)周期的綜合運用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的各個性質(zhì)并能靈活運用性質(zhì)，還要具備一定的綜合論證的解題能力，是中檔題．