Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}$（α為參數(shù)），在極坐標(biāo)系中，點M的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{4}$π）．
（I）寫出曲線C的普通方程并判斷點M與曲線C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)直線l過點M且與曲線C交于A、B兩點，若|AB|=2|MB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消參數(shù)得出曲線C的普通方程，將M點坐標(biāo)代入曲線C的方程即可判斷點M與曲線C的位置關(guān)系；
（II）由|AB|=2|MB|，可知M為AB的中點，將直線l的參數(shù)方程代入曲線的方程則方程有兩個互為相反數(shù)的實根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出l的斜率，得出l方程．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）消α得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
將$M（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$化成直角坐標(biāo)得M（-1，1），∵$\frac{{{{（-1）}^2}}}{4}+$$\frac{1^2}{3}=\frac{7}{12}＜1$，
故點M在曲線C內(nèi)．
（Ⅱ）設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角）．
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得：（3+sin²α）t²+（8sinα-6cosα）t-5=0．
∵|AB|=2|MB|，∴M為AB的中點，即t₁+t₂=0．
∴8sinα-6cosα=0，∴tanα=$\frac{3}{4}$．
∴l(xiāng)的方程為：$y-1=\frac{3}{4}（x+1）$，即3x-4y+7=0．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．