Question

8．若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）對于任意的x滿足f（2-x）+f（x）=0，當(dāng)x＞1時恒有$\frac{f′（x）}{x-3}＞0$，在下列結(jié)論中：①函數(shù)y=f（x+1）是奇函數(shù)；②若-3≤x₁＜x₂≤3，且x₁+x₂＞2，則f（x₁+x₂）＜0；③函數(shù)y=f（x）有三個零點，所有正確結(jié)論的序號是（　�。�

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)零點的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（2-x）+f（x）=0，∴f（2-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）關(guān)于（1，0）點對稱，
將f（x）向左平移一個單位得到y(tǒng)=f（x+1），此時函數(shù)f（x）關(guān)于原點對稱，則①函數(shù)y=f（x+1）是奇函數(shù)正確，
當(dāng)x＞3時，由$\frac{f′（x）}{x-3}＞0$得f′（x）＞0，則函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)1＜x＜3時，由$\frac{f′（x）}{x-3}＞0$得f′（x）＜0，則函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x=1時，f（1）=-f（1），則f（1）=0，
②若-3≤x₁＜x₂≤3，且x₁+x₂＞2，則f（x₁+x₂）＜0不一定成立；故②錯誤，
③由②知f（1）=0，∵當(dāng)x=3時，f（3）的值不確定，故無法判斷函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，故③錯誤，
故選：A．

點評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性以及極值的判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．