Question

20．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₃=3，S_m=19，S_m+5=14，則m的值為9．

Answer 1

分析 法一：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式列出方程組能求出m．
法二：由a₃=3，求出S₅，從而得到${a_6}+{a_m}=\frac{8}{m-5}$，由此能求出m．

解答 解法一：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=3\\{a_1}+\frac{m-1}{2}d=\frac{19}{m}\\{a_1}+\frac{m+4}{2}d=\frac{14}{m+5}\end{array}\right.$（從上往下依為①，②，③）
②-①得$\frac{m-5}{2}d=\frac{19-3m}{m}$…④；
③-①得$\frac{m}{2}d=\frac{-1-3m}{m+5}$…⑤
④÷⑤得$\frac{m-5}{m}=\frac{（3m-19）（m+5）}{m（3m+1）}$，解得m=9．
解法二：由a₃=3得${S_5}=\frac{{5（{a_1}+{a_5}）}}{2}=\frac{{5•2{a_3}}}{2}=15$，
于是${S_m}-{S_5}={a_6}+{a_7}+…+{a_m}=\frac{{（m-5）（{a_6}+{a_m}）}}{2}=4$，
所以${a_6}+{a_m}=\frac{8}{m-5}$，
而${S_m}-{S_5}={a_6}+{a_7}+…+{a_m}=\frac{{（m+5）（{a_6}+{a_m}）}}{2}=\frac{4（m+5）}{m-5}=14$，
解得m=9．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．