Question

17．直線y=k（x+1）（k＞0）與拋物線C：y²=4x交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點(diǎn)，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，進(jìn)而可知|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可得，最后利用直線上的兩點(diǎn)求得直線的斜率．

解答 解：拋物線C：y²=4x的準(zhǔn)線為l：x=-1，直線y=k（x+1）（k＞0）恒過定點(diǎn)P（-1，0），
如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，
則|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）
∵P（-1，0），
∴k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
根據(jù)對(duì)稱性，可得k=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
故答案為：±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查直線斜率的計(jì)算，屬于中檔題．