Question

5．已知函數(shù)f（x）=2^x，且f（a+2）=12，g（x）=2^ax-9^x．
（1）求g（x）的解析式；          
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（a+2）=2^a+2=12可求a，然后代入到g（x）=2^ax-9^x，化簡(jiǎn)即可；
（2）令t=3^x，由x∈[-2，1]，可求t∈[$\frac{1}{9}$，3]，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求g（x）的值域．

解答 解：（1）由題意可得，f（a+2）=2^a+2=12，
∴a=log₂3，因此，2^ax=（2^a）^x=3^x，
∵g（x）=2^ax-9^x，
∴g（x）=3^x-9^x； 
（2）令t=3^x，x∈[-2，1]，則t∈[$\frac{1}{9}$，3]，
∴g（x）=h（t）=t-t²=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，h（t）的圖象關(guān)于t=$\frac{1}{2}$軸對(duì)稱，
h（t）_max=h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$；
h（t）_min=h（3）=-6，
因此，函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋篬-6，$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法和函數(shù)值域的解法，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．