Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），雙曲線的漸近線過點A（2，$\sqrt{3}$），且雙曲線過點B（4，3）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C的左右頂點分別為A₁，A₂，點P在C上且直線PA₁斜率的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，求直線PA₂的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的漸近線方程，代入點A，再代入點B，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程；
（2）求得雙曲線的頂點，設(shè)P（m，n），求得${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，由已知斜率，即可得到所求的斜率．

解答 解：（1）雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得2b=$\sqrt{3}$a，且$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）雙曲線C的左右頂點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0），
設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
由${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m+2}$•$\frac{n}{m-2}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$
=$\frac{3}{4}$•（m²-4）•$\frac{1}{{m}^{2}-4}$=$\frac{3}{4}$，
由${k}_{P{A}_{1}}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
即有直線PA₂的斜率的取值范圍為[$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用漸近線方程，同時考查直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．