Question

16．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x，若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，則t的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． （-3，-1）
• C． （-1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)，由斜率的兩種表示得到等式，化簡(jiǎn)得三次函數(shù)，將題目條件化為函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，得解．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x，2x³-3x），
則$\frac{2{x}^{3}-3x-t}{x-1}$=6x²-3，
化簡(jiǎn)得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
則令g′（x）=12x（x-1）=0，
則x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，
則（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．