Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，求|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的大�。�

Answer 1

分析 （1）直接由向量模的平方等于向量的平方，展開后代入數(shù)量積公式得答案；
（2）設(shè)出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角，由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）得其數(shù)量積為0，然后求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角可求．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}=\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{9|\overrightarrow{a}{|}^{2}-6|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|cos60°+|\overrightarrow{|}^{2}}$
=$\sqrt{9×{1}^{2}-6×1×\sqrt{2}×\frac{1}{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$
=$\sqrt{11-3\sqrt{2}}$；
（2）設(shè)a、b的夾角為θ，
∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$（\overrightarrow{a}）^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|cosθ=0$，
∴$cosθ=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，∴$θ=\frac{π}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，關(guān)鍵是對公式$（\overrightarrow{a}）^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$的運(yùn)用，是中檔題．