Question

3．有下列四個命題：
①在△ABC中，a、b分別是角A、B所對的邊，若a＜b，則sinA＜sinB；
②若a＞b，則$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}$；
③在正項等比數(shù)列{a_n}中，若a₄a₅=9，則log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₈=8；
④若關(guān)于x的不等式mx²+mx+1＞0恒成立，則m的取值范圍是[0，4）．
其中所有正確命題的序號為①③④．

Answer 1

分析 由正弦定理結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系判斷①；舉例說明②錯誤；由等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)判斷③；求出m的范圍判斷④．

解答 解：①在△ABC中，若a＜b，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得sinA＜sinB，故①正確；
②若a＞b，則$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}$錯誤，如a=1，b=-1；
③在正項等比數(shù)列{a_n}中，若a₄a₅=9，則log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₈=log₃（a₁a₂…a₈）=$lo{g}_{3}（{a}_{4}{a}_{5}）^{4}=lo{g}_{3}{9}^{4}=lo{g}_{3}{3}^{8}=8$，故②正確；
④若關(guān)于x的不等式mx²+mx+1＞0恒成立，則m=0或$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，即0≤m＜4．
∴m的取值范圍是[0，4），故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形中的邊角關(guān)系，考查等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)，訓(xùn)練了恒成立問題的解法，是中檔題．