Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+3x²+1，已知a≠0，且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）²，x∈R，則實(shí)數(shù)a=-2，b=1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)f（x）-f（a），再化簡(jiǎn)（x-b）（x-a）²，根據(jù)等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列出方程組，求出a、b的值．

解答 解：∵f（x）=x³+3x²+1，
∴f（x）-f（a）=x³+3x²+1-（a³+3a²+1）
=x³+3x²-（a³+3a²）
∵（x-b）（x-a）²=（x-b）（x²-2ax+a²）=x³-（2a+b）x²+（a²+2ab）x-a²b，
且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a-b=3}\\{{a}^{2}+2ab=0}\\{{a}^{3}+3{a}^{2}={a}^{2}b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$（舍去），
故答案為：-2；1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)能力和方程思想，屬于中檔題．