Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+sinx，問是否存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運用兩角和的正弦公式化簡f（x），得到函數(shù)的周期性，假設(shè)存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，則f（x+2α）=f（x），即有f（x）的最小正周期為2α，令α=π，即可判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cosx+sinx
=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）
=

2

sin（x+

π

4

），
則函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，
假設(shè)存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，
則f（x）=f（x-α+3α）即有f（x+2α）=f（x），
即有f（x）的最小正周期為2α，
即2π=2α，即α=π，這與α∈（0，

π

2

）矛盾，
故不存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和周期性，考查存在性問題的解決方法，屬于中檔題．