Question

1．如圖所示，某企業(yè)擬建造一個體積為V的圓柱型的容器（不計厚度，長度單位：米）．已知圓柱兩個底面部分每平方米建造費用為a千元，側(cè)面部分每平方米建造費用為2a千元．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)，設(shè)圓柱的底面半徑為r，該容器的總建造費用為y千元．
（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求該容器總建造費用最小時r的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓柱的高，求出圓柱的高，從而求出函數(shù)表達(dá)式；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出r的最小值．

解答 解：（1）設(shè)圓柱的高為h，
∵V=πr²h，∴$h=\frac{V}{{π\(zhòng);{r^2}}}$，
∴$y=a•2π\(zhòng);{r^2}+2a•2π\(zhòng);rh=2aπ\(zhòng);{r^2}+\frac{4aV}{r}$（r＞0）．   
（2）$y'=4aπ\(zhòng);r-\frac{4aV\;}{r^2}$，
令y′=0，得$r=\root{3}{{\frac{V}{π\(zhòng);}}}$，

r	（0，$\root{3}{{\frac{V}{π\(zhòng);}}}$）	$\root{3}{{\frac{V}{π\(zhòng);}}}$	（$\root{3}{{\frac{V}{π\(zhòng);}}}$Z，+∞）
y'	-	0	+
y	↘	極小值	↗

∴該容器總建造費用最小時$r=\root{3}{{\frac{V}{π\(zhòng);}}}$．

點評 本題考查了圓柱的體積公式，考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．