Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關(guān)于f（x）的命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	-1	3	3	1

①函數(shù)f（x）的極小值點為2；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是3，那么t的最大值為5；
④當(dāng)2＜a＜3時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點．
其中正確命題的個數(shù)有3 個．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及極值點的定義，函數(shù)最值的定義，零點的定義即可判斷每個命題的正誤，從而求出正確命題的個數(shù)．

解答 解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象：x∈（0，2）時，f′（x）＜0；x∈（2，4）時，f′（x）＞0；
∴x=2是f（x）的極小值點，f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，∴①②正確；
通過導(dǎo)函數(shù)圖象可看出x=0，x=4都是f（x）的極大值點，并且x=0，或x=4時，f（x）取得最大值3；
∵x∈[-1，t]時，f（x）取得最大值3，∴t最大是5，∴③正確；
y=f（x）-a，是將y=f（x）向下平移a個單位得到的；
∵2＜a＜3；
∴對于函數(shù)y=f（x）-a，x=-1時，y=-1-a＜0，x=0時，該函數(shù)取得極大值3-a＞0，x=2時f（x）取得極小值f（2）-a，因為f（2）＜3，2＜a＜3，所以f（2）-a不能判斷符號；
∴不能判斷f（x）-a的零點個數(shù)，∴④錯誤；
∴命題正確的個數(shù)為3．
故答案為：3．

點評 考查觀察圖象的能力，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，極值點的定義及判斷，函數(shù)最值的求解，以及函數(shù)零點的定義及求解方法．