Question

11．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$，S${\;}_{△PA{F}_{2}}$，S${\;}_{△PB{F}_{1}}$分別為△PF₁F₂，△PAF₂，△PBF₁的面積，若S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$=S${\;}_{△PB{F}_{1}}$，則直線PF₁的斜率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 通過設(shè)P（x，y），利用四邊形F₁BPA的面積S=${S}_{△BO{F}_{1}}$+S_{四邊形BOAP}=3${S}_{△PA{F}_{2}}$計(jì)算、整理可知bc+bx+ay=3（a-c）y，通過S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$可知a=3c，進(jìn)而可知b=$2\sqrt{2}$c，代入計(jì)算、化簡可知y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x+c），從而可得結(jié)論．

解答 解：依題意設(shè)P（x，y），則x＞0、y＞0，
則四邊形F₁BPA的面積S=${S}_{△BO{F}_{1}}$+S_{四邊形BOAP}
=$\frac{1}{2}$bc+$\frac{1}{2}$bx+$\frac{1}{2}$ay
=3${S}_{△PA{F}_{2}}$
=3×$\frac{1}{2}$×（a-c）y，
即bc+bx+ay=3（a-c）y，
又∵S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$，即點(diǎn)F₂為線段AF₁的中點(diǎn)，
∴2c=a-c，即a=3c，
∴b²=a²-c²=8c²，即b=$2\sqrt{2}$c，
代入bc+bx+ay=3（a-c）y，得$2\sqrt{2}$c²+$2\sqrt{2}$cx+3cy=6cy，
化簡得：y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x+c），
∴直線PF₁的斜率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，利用三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．