Question

11．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為8cm，M，N，P分別是AB，A₁D₁，BB₁的中點．
（1）畫出過M，N，P三點的平面與平面A₁B₁C₁D₁的交線以及與平面BB₁C₁C的交線；
（2）設過M，N，P三點的平面與B₁C₁交于Q，求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)MP與底面ABCD的交點K必在側面ABB₁與底面ABCD的交線AB上，連接NK交BC與Q，與平面BB₁C₁C的交線是PQ．
（2）根據(jù)（1）得到的交線PQ，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得．

解答 解：（1）如圖所示：∵MP?平面ABB₁，
∴MP與底面ABCD的交點K必在側面ABB₁與底面ABCD的交線AB上，
∴過點M，N，P的平面與平面ABCD的交線是NK，（K在線段AB的延長線上），與平面BB₁C₁C的交線是PQ（Q在線段BC上）．∵BK∥A₁B₁，
∴$\frac{BK}{{MB}_{1}}$=$\frac{BP}{{PB}_{1}}$=1，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴$\frac{BK}{AK}$=$\frac{BQ}{AN}$=$\frac{1}{3}$，
∴BQ=$\frac{4}{3}$．
（2）由（1）可知：BQ=$\frac{4}{3}$，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ=$\sqrt{{4}^{2}{+（\frac{4}{3}）}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了平面與平面的交線及交線長等問題，正確畫出交線是解決問題的關鍵．