Question

6．若直線a上的所有點(diǎn)到兩條直線m、n的距離都相等，則稱直線a為“m、n的等距線”．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分別是所在棱中點(diǎn)，M、N分別為EH、FG中點(diǎn)，則在直線MN，EG，F(xiàn)H，B₁D中，是“A₁D₁、AB的等距線”的條數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
∵E、F、G、H分別是所在棱中點(diǎn)，M、N分別為EH、FG中點(diǎn)，
∴M（1，0，1），N（1，2，1），E（2，0，1），G（0，2，1），
F（2，2，1），H（0，0，1），B₁（2，2，2），D（0，0，0），
A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），
則MN到AB的距離為AM=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{MN}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-1，0，-1）
異面直線A₁D₁與MN的公共法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
∴MN與A₁D₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2}$=1，∴直線MN不是“A₁D₁、AB的等距線”；
異面直線A₁D₁與G的公共法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（0，0，1），
∴EG與A₁D₁的距離d₁=$\frac{|\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{D{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{2}$=1，
異面直線AB與G的公共法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{EA}$=（0，0，-1），
∴EG與EA的距離d₂=$\frac{|\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{D{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴EG是“A₁D₁、AB的等距線”；
同理，F(xiàn)H是“A₁D₁、AB的等距線”；B₁D不是“A₁D₁、AB的等距線”．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查兩直線的“等距線”的條數(shù)的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．