已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過l上一點(diǎn)P作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為A、B，
（1）求證：PA⊥PB；
（2）求證：A、F、B三點(diǎn)共線；
（3）求
FA
•
FB
FP
2
的值．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：向量與圓錐曲線
分析：（1）由拋物線方程求出拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)相等列式得到a2-2an-4=0，b2-2bn-4=0．從而得到a，b是方程x2-2nx-4=0的兩根，則答案得證；
（2）求出直線AB的斜率，寫出直線方程的點(diǎn)斜式，從而得到直線AB過定點(diǎn)F；
（3）求出
FA
•
FB
，
FP
2，作比后得答案．
解答： （1）證明：準(zhǔn)線l的方程為：y=-1，F(xiàn)（0，1），
設(shè)P（n，-1），A（a，
a2
4
），B（b，
b2
4
），
∵y=
1
4
x2，∴y′=
1
2
x．
∴kPA=
a
2
=
a2
4
+1
a-n
，即a2-2an-4=0．
kPB=
b
2
=
b2
4
+1
b-n
，即b2-2bn-4=0．
∴a，b是方程x2-2nx-4=0的兩根．
則ab=-4．即
a
2
•
b
2
=-1．
∴PA⊥PB；
（2）證明：由（1）知，a+b=2n，kAB=
b2
4
-
a2
4
b-a
=
b+a
4
=2n，
∴直線AB方程為y=
b+a
4
(x-a)+
a2
4
．
即y=
b+a
4
x-
ba
4
．
∵a+b=2n，ab=4，
∴AB方程為y=
1
2
nx+1．
∴直線AB過點(diǎn)F，
即A、F、B三點(diǎn)共線；
（3）
FA
•
FB
=(a，
a2
4
-1)(b，
b2
4
-1)=ab+(
a2
4
-1)(
b2
4
-1)
=ab+
(a2-4)(b2-4)
16
=-n2-4．
PF
=(-n，2)，
∴
FP
2=n2+4．
則
FA
•
FB
FP
2
=-1．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力，是壓軸題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知函數(shù)f（x）=lnx-lna，g（x）=aex，其中a為常數(shù)，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x-1）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)x1，x2，…，xn是互不相等的正整數(shù)，n∈N*，證明：
x1
12
+
x2
22
+…+
xn
n2
＞1n（n+1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求下列各式的值．
（Ⅰ）（
5
6
a
1
3
b-2）•（-3a
1
2
b-1）÷(4a
2
3
b-2)
1
2
•（a-
1
2
b
3
2
）；
（Ⅱ）lg2•lg50-lg5•lg20-lg4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，若a2+b2-c2=absin2C
（1）求角C；
（2）若c-a=2，
AB
•
AC
=36，求sinA+sinB-sinC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={-2，0，2}，B={-1，1}，設(shè)M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素（x，y）．
（1）求以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2+y2=1上的概率
（2）求以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域D：
x-y+2≥0
x+y-2≤0
y≥-1
內(nèi)（含邊界）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-3，0），過點(diǎn)F1作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A1，兩直線AB，A1B的斜率之積為-
16
25
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知D（m，0）為F1右側(cè)的一點(diǎn)，連AD，BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓恰好過點(diǎn)F1，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn=
7n+11
12
，試比較S2n與Tn的大小，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-（a2-a）lnx-x（a≤
1
2
）．
（1）若函數(shù)f（x）在2處取得極值，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=a2lnx2-x，若f（x）＞g（x）對?x＞1恒成立，求a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案