已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn=
7n+11
12
，試比較S2n與Tn的大小，并給出證明．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）令n=1，4代入Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，求出S2，S4的值；
（2）令n=1，2，3代入S2n與Tn，并比較大小關(guān)系，進(jìn)行猜想：當(dāng)n≥3時，S2n＞Tn，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明n=k+1成立時需用上假設(shè)，注意在證明過程的放縮目標(biāo)，一定與結(jié)論有關(guān)系．
解答： 解：（1）由題意得，Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，
則S2=1+
1
2
=
3
2
，
S4=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
=
25
12
，…（2分）
（2）由Tn=
7n+11
12
得，
當(dāng)n=1，2時，T1=
7+11
12
=
3
2
，T2=
7×2+11
12
=
25
12
，所以S2n=Tn，
當(dāng)n=3時，T3=
7×3+11
12
=
8
3
，
S23=S8=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
=
761
280
＞
8
3
=T3，
于是猜想，當(dāng)n≥3時，S2n＞Tn．…（4分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n≥3，顯然成立；
②假設(shè)n=k（k≥3）時，S2k＞Tk；
那么當(dāng)n=k+1時，S2k+1=S2k+
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+1

＞
7k+11
12
+（
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+2k-1
）+（
1
2k+2k-1+1
+
1
2k+2k-1+2
+…+
1
2k+1
）
＞
7k+11
12
+
1
2k+2k-1
×2k-1+
1
2k+1
×2k-1
=
7k+11
12
+
1
3
+
1
4
=
7(k+1)+11
12
，
這就是說，當(dāng)n=k+1時，S2n＞Tn．
根據(jù)①、②可知，對任意不小于3的正整數(shù)n，都有S2n＞Tn．
綜上得，當(dāng)n=1，2時，S2n=Tn；當(dāng)n≥3時，S2n＞Tn． …（10分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和問題，主要考查數(shù)列與不等式的綜合問題，以及用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，還有放縮法的應(yīng)用，難度很大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，設(shè)bn=log2（an+1）．
（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式an和bn；
（3）設(shè)cn=
2bn
an•an+1
，
①判定數(shù)列{cn}的單調(diào)性，并求數(shù)列{cn}的最大值．
②求
lim
n→∞
（c1+c2+…+cn）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過l上一點(diǎn)P作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為A、B，
（1）求證：PA⊥PB；
（2）求證：A、F、B三點(diǎn)共線；
（3）求
FA
•
FB
FP
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到定直線l：x=4的距離之比為
1
2
．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)M、N是直線l上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若
EM
•
FN
=0，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣M有特征值λ1=8及對應(yīng)特征向量α1=
1
1
，且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個特征值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)C（2，-
π
6
）為圓心、2為半徑的圓．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求圓C被直線l：θ=-
5π
12
所截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)都在球面上，則AC1的長是
 
，球的表面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，等邊三角形ABC與直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB．
（Ⅰ）若F為CD中點(diǎn)，證明：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）在線段AC上是否存在點(diǎn)N，使CD∥平面BEN，若存在，求
AN
NC
的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義非零向量
OM
=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
OM
=（a，b）稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，求證：h（x）∈S；
（2）求（1）中函數(shù)h（x）的“相伴向量”模的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)M（a，b）滿足條件：a=3且0＜b≤
3
，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x） 在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求tan2x0的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案