Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸Ox為x軸建立直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ²=2ρsinθ，又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出；
（II）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得y=-

4

3

(x-2)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑r=1，則|MC|=

5

．利用|MN|≤|MC|+r即可得出|MN|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ²=2ρsinθ，
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得y=-

4

3

(x-2)，
令y=0，得x=2，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為（0，1），
半徑r=1，則|MC|=

5

．
∴|MN|≤|MC|+r=

5

+1．即|MN|的最大值為

5

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．