Question

6．已知點(diǎn)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．
（1）證明：△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為a；
（2）若點(diǎn)M（a，2），且$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{{F}_{2}F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，求△PMF₁、與△PMF₂的面積之差．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用切線長(zhǎng)定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|HF₁|-|HF₂|=2a，從而求得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)；
（2）由已知向量等式可得M為△PF₁F₂的內(nèi)心，由三角形的面積公式作差，結(jié)合雙曲線定義可得答案．

解答 （1）證明：如圖所示：F₁（-a，0）、F₂（a，0），
設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，
PF₁、PF₂與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為A、B，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PA|=|PB|，故|AF₁|-|BF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，
故 （x+c）-（c-x）=2a，
∴x=a；
（2）解：由$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{{F}_{2}F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，得$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{M{F}_{1}}|cos∠M{F}_{1}P}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}||\overrightarrow{M{F}_{1}}|cos∠M{F}_{1}{F}_{2}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，
∴cos∠MF₁P=cos∠MF₁F₂，可得M在∠PF₁F₂的角分線上，
又M（a，2），結(jié)合（1）可知，M為△PF₁F₂的內(nèi)心，
∴${S}_{△PM{F}_{1}}-{S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|×2-\frac{1}{2}|P{F}_{2}|×2=|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|$=2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．