Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為l₁，過點(diǎn)F與AF垂直的直線為l₂，求證l₁與l₂的交點(diǎn)在定直線上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得，焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，即F（-c，0），設(shè)弦與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別代入橢圓方程相減可得：$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{{{x_1}^2-{x_2}^2}}$．由點(diǎn)M平分弦AB，弦經(jīng)過焦點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式可得：$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{{6（{c-\frac{2}{3}}）}}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x₁，y₁），由對稱性，不妨設(shè)y₁＞0，由$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得橢圓上半部分的方程為$y=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與斜率計(jì)算公式可得：N點(diǎn)處的切線方程為$y-{y_1}=\frac{{-{x_1}}}{{2{y_1}}}（{x-{x_1}}）$，過F且垂直于FN的直線方程為$y=-\frac{{{x_1}+1}}{y_1}（{x+1}）$，結(jié)合$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由題意得，焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，即F（-c，0），
設(shè)弦與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程得$\frac{{{x_1}^2}}{a^2}+\frac{{{y_1}^2}}{b^2}=1$…①$\frac{{{x_2}^2}}{a^2}+\frac{{{y_2}^2}}{b^2}=1$…②
①式-②式，得$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{{{x_1}^2-{x_2}^2}}$…③
∵點(diǎn)M平分弦AB，弦經(jīng)過焦點(diǎn)，
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{2}{3}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{3}$，$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{\frac{1}{3}}}{{-\frac{2}{3}+c}}$，
代入③式得，$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}}}{{-\frac{4}{3}×（{-\frac{2}{3}+c}）}}$，即$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{{6（{c-\frac{2}{3}}）}}$，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，∴${c^2}={b^2}=\frac{1}{2}{a^2}$，∴$\frac{1}{2}=\frac{1}{{6（{c-\frac{2}{3}}）}}$，
即c=1，$a=\sqrt{2}$，∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x₁，y₁），由對稱性，不妨設(shè)y₁＞0，
由$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得橢圓上半部分的方程為$y=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$，$y'=\frac{1}{2}•\frac{1}{{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}}•（{-x}）=\frac{-x}{{2\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}}$，
∴${k_切}=\frac{{-{x_1}}}{{2\sqrt{1-\frac{{{x_1}^2}}{2}}}}=\frac{{-{x_1}}}{{2{y_1}}}$，
∴A點(diǎn)處的切線方程為$y-{y_1}=\frac{{-{x_1}}}{{2{y_1}}}（{x-{x_1}}）$…①
過F且垂直于FA的直線方程為$y=-\frac{{{x_1}+1}}{y_1}（{x+1}）$…②
由①②兩式，消去y得${y_1}=-\frac{{{x_1}+1}}{y_1}（{x+1}）+\frac{x_1}{{2{y_1}}}•（{x-{x_1}}）$…③
其中$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，代入③式，可得x=-2
∴點(diǎn)P在定直線x=-2上

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交相切問題、“差點(diǎn)法”、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．