Question

1．已知α∈（0，π），sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，則cosα=（　　）

• A． $\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{1±2\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{-1-2\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 由α的范圍、sin（α+$\frac{π}{6}$）的值以及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷出“α+$\frac{π}{6}$”的范圍，由平方關(guān)系求出cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式求出cosα的值．

解答 解：∵α∈（0，π），∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∵0＜sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），
則cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）
=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}+$$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$，
綜上可得，cosα的值是$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，正確縮小角的范圍以及表示所要求的角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．