已知一個橢圓中心在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形的周長為4+2
3
，且∠F1BF2=
2π
3
．
（1）求這個橢圓的方程；
（2）斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，求|AB|的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)長軸長為2a，焦距為2c，由題意得，c=
3
2
a，則△F1BF2的周長為2a+2c=2a+
3
a=4+2
3
，解出a，c，b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+t，代入橢圓方程，消去y，得，
5
4
x2+2tx+t2-1=0，運用判別式大于0，韋達定理和弦長公式，化簡整理，即可得到最大值．
解答： 解：（1）設(shè)長軸長為2a，焦距為2c，
則在三角形F2OB中，由∠F2BO=
π
3
，
得c=
3
2
a，則△F1BF2的周長為2a+2c=2a+
3
a=4+2
3
，
則a=2，c=
3
，b=1，
故所求的橢圓方程為：
x2
4
+y2=1；
（2）設(shè)直線l：y=x+t，代入橢圓方程，消去y，得，
5
4
x2+2tx+t2-1=0，
由題意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-
8t
5
，x1x2=
4(t2-1)
5
，
弦長|AB|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
•
64t2
25
-
16(t2-1)
5

=4
2
×
5-t2
5
≤
4
10
5
．
當且僅當t=0時，取最大值為
4
10
5
．
點評：本題考查橢圓的方程和定義，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，注意判別式大于0，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正六棱柱的高為6，底面邊長為3，則它的體積為（　�。�
A、48
B、27
3
C、81
3
D、36

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知3個數(shù)成等差數(shù)列，和為12，若第3個數(shù)加上2后，此3個數(shù)成等比數(shù)列，若由這三個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列是遞增的，求這個數(shù)列的前n項之和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個盛滿水的三棱錐容器S-ABC中，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞D，E，F(xiàn)，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（　�。�
A、
23
29
B、
19
27
C、
30
31
D、
23
27

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且asinA+csinC-
3
asinC=bsinB．
（1）求角B的大�。�
（2）若A=60°，b=2，求邊a，c的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（如圖）正△ABC的邊長為3，D、E分別是BC邊上的三等分點，沿AD、AE折起，使B、C兩點重合于點P，則下列結(jié)論：
①AP⊥DE；
②AP與面PDE所成角的正弦值是
6
3
；
③P到平面ADE的距離為
6
3
；
④AP與底面ADE所成角的余弦值為
6
9
．
其中正確結(jié)論的序號為
 
（把你認為正確的序號都填上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（m，n）是直線2x+y+5=0上的任意一點，則
(m-1)2+(n+2)2
的最小值為（　�。�
A、5
B、
8
5
5
C、
5
D、
5
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個正實數(shù)x，y滿足
2
x
+
1
y
=1，并且x+2y≥m2-2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（-2，4）
B、[-2，4]
C、（-∞，-2）∪（4，+∞）
D、（-∞，-2]∪[4，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=3ax2-2ax+1（x∈R）在（-1，1）內(nèi)有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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