Question

已知3個數(shù)成等差數(shù)列，和為12，若第3個數(shù)加上2后，此3個數(shù)成等比數(shù)列，若由這三個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列是遞增的，求這個數(shù)列的前n項之和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題先根據(jù)條件3個數(shù)成等差數(shù)列設出這三個數(shù)，再利用條件“和為12，若第3個數(shù)加上2后，此3個數(shù)成等比數(shù)列，”得到兩個關(guān)系式，從而求出該數(shù)列的首項和公差，再求出這個數(shù)列的前n項之和S_n．

解答： 解：∵3個數(shù)成等差數(shù)列，
∴設這三個數(shù)分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，
∵3個數(shù)的和為12，若第3個數(shù)加上2后，此3個數(shù)成等比數(shù)列，
∴

a1+a1+d+a1+2d=12 a1(a1+2d+2)=(a1+d)2

，
∴

a1=2 d=2

或

a1=8 d=4

，
∵由這三個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列是遞增的，
∴

a1=2 d=2

．
∴這個數(shù)列的前n項之和S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n．
即這個數(shù)列的前n項之和S_n=n²+n．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項、前n項和公式，以及函數(shù)方程思想，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．