Question

設(shè)函數(shù)，其中a＞0，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（Ⅰ）確定b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點(diǎn)（0，2）．證明：當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）若過點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．由此能求出b和c．
（Ⅱ），由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反證法能夠證明f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）過點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根．由此能求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由，
得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1，
得f（0）=1，f'（0）=0．
故b=0，c=1．
（Ⅱ），
由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），
而點(diǎn)（0，2）在切線上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡(jiǎn)得．
即t滿足的方程為．
下面用反證法證明．
假設(shè)f'（x₁）=f'（x₂），
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點(diǎn)（0，2），
則下列等式成立：
由（3）得x₁+x₂=a，
由（1）-（2）得
又，
故由（4）得，
此時(shí)與x₁≠x₂矛盾，
所以f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）故（Ⅱ）知，過點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線，
等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，
即等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根．
設(shè)，則．
由于a＞0，故有

t	（-∞，0）
g'（t）	+		-		+
g（t）	↗	極大值1	↘	極小值	↗

由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)，
即．
∴a的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．