Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2（a_n-1），數(shù)列{b_n}滿足：對任意n∈N^*有$\sum_{i=1}^{n}$a_ib_i=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：當(dāng)n≥6時，n|2-T_n|＜1．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2（a₁-1），解得a₁=2，當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得到，再由n換成n+1，相減可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出C_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，運(yùn)用錯位相減法，求得前n項(xiàng)和為T_n，再由數(shù)學(xué)歸納法，即可得證．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2（a_n-1），
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2（a₁-1），解得a₁=2，
當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），
化簡可得a_n=2a_n-1，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n=2ⁿ，
數(shù)列{b_n}滿足：對任意n∈N^*有$\sum_{i=1}^{n}$a_ib_i=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
即有$\sum_{i=1}^{n+1}$a_ib_i=n•2ⁿ⁺²+2，
兩式相減，可得a_n+1b_n+1=n•2ⁿ⁺²+2-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2
=（n+1）2ⁿ⁺¹，
由a_n+1=2ⁿ⁺¹，可得b_n+1=n+1，
即有b_n=n，
當(dāng)n=1時，a₁b₁=2，可得b₁=1，
故有a_n=2ⁿ，b_n=n；
（2）C_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
則T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{8}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{8}$+$\frac{3}{16}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減，可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
解得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n≥6時，n|2-T_n|＜1，即為$\frac{n（n+2）}{{2}^{n}}$＜1，即證2ⁿ＞n（n+2）．
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=6時，2⁶=64，6×8=48，則64＞48，成立．
當(dāng)n=7時，2⁷=128，7×9=63，則128＞63，成立．
假設(shè)n=k（k≥7）時，2^k＞k（k+2）．
當(dāng)n=k+1時，2^k+1＞2k（k+2）．
由2k（k+2）-（k+1）（k+3）=k²-3＞0，
即有2k（k+2）＞（k+1）（k+3），
則當(dāng)n=k+1時，2^k+1＞（k+1）（k+3）．
綜上可得，
當(dāng)n≥6時，2ⁿ＞n（n+2）．
即有n|2-T_n|＜1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法和數(shù)學(xué)歸納法的證明不等式，屬于中檔題．