Question

11．某倉庫為了保持內(nèi)溫度，四周墻上裝有如圖所示的通風設(shè)施，該設(shè)施的下部是等邊三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圓，點E為AB的中點，△EMN是通風窗，（其余部分不通風）MN是可以沿設(shè)施的邊框上下滑動且保持與AB平行的伸縮桿（MN和AB不重合）．
（1）設(shè)MN與C之間的距離為x米，試將△EMN的面積S表示成x的函數(shù)S=f（x）；
（2）當MN與C之間的距離為多少時，△EMN面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）當M、N分別在AC、BC上時，先求出MN=2$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$，可得△EMN的面積S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）的解析式．當M、N都在半圓上時，先求得MN=2x•tan30°，可得f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）的解析式．
（2）對于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$•（x-$\sqrt{3}$），利用基本不等式可得f（x）求得它的最大值；
對于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•（$\sqrt{3}$-x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得半圓的半徑等于1，等邊三角形ABC的高為$\sqrt{3}$，
當M、N分別在AC、BC上時，MN=2$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$，$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{3}$+1．
△EMN的面積S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$•（x-$\sqrt{3}$）．
當M、N都在半圓上時，MN=2x•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
△EMN的面積S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•（$\sqrt{3}$-x）．
（2）對于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$•（x-$\sqrt{3}$），
利用基本不等式可得f（x））≤$\frac{[1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}]{+（x-\sqrt{3}）}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
當且僅當1-${（x-\sqrt{3}）}^{2}$=${（x-\sqrt{3}）}^{2}$，即x=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
對于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•（$\sqrt{3}$-x）．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，f（x）取得最大值為 $\frac{\sqrt{3}}{4}$．
綜上可得，當x=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，△EMN的面積S=f（x）取得最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．