Question

7．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距等于短軸長，設(shè)不過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，滿足直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C過點(diǎn)（2，0），求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=c，結(jié)合隱含條件即可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）及橢圓C過點(diǎn)（2，0）列式求出a，b的值，得到橢圓方程，設(shè)直線方程為y=kx+t（t≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列求得k，再由弦長公式求得弦長，由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到直線MN的距離，代入三角形面積公式，然后利用基本不等式求得△OMN面積的最大值．

解答 解：（1）由題意得，b=c，∴b²=a²-c²=c²，解得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
設(shè)直線l：y=kx+t（t≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-4=0．
再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4kt}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
由已知可得：${k}^{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，即$（k{x}_{1}+t）（k{x}_{2}+t）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$，
∴k（x₁+x₂）+t=0．
即$\frac{-4{k}^{2}t}{1+2{k}^{2}}+t=0$，解得：${k}^{2}=\frac{1}{2}$．
弦長|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{3}{2}}•\sqrt{（\frac{-4kt}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{2{t}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}}=\sqrt{3}•\sqrt{4-{t}^{2}}$，
O到MN的距離d=$\frac{\sqrt{2}|t|}{\sqrt{3}}$．
∴△OMN面積S=$\frac{\sqrt{2}}{2}|t|\sqrt{4-{t}^{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{{t}^{2}+4-{t}^{2}}{2}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．