Question

15．已知函數(shù)f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{3}{2}$（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且三角形ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$π．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），求f（x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)和BC=$\frac{T}{2}$的值．再根據(jù)三角形ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$π，求得ω 的值，可得 f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由此求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）由f（x₀）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，可得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．由 x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）求得cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，可得f（x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}（1+cosωx）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
故A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，BC=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$．
根據(jù)三角形ABC的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{π}{ω}$•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$π，可得ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）由f（x₀）=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，可得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
由 x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），可得2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$ ），∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
故f（x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin[2（x₀+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．