Question

【題目】已知曲線Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點P（﹣1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）.

(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；

(2)證明：.

Answer 1

【答案】(1)xn，yn；(2)證明見解析.

【解析】

（1）聯(lián)立直線和曲線方程通過判別式求出kn，即可求得切點坐標公式；

（2），利用放縮法，即有，證明左側(cè)不等式，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xcosx，利用單調(diào)性證明右側(cè)不等式.

(1)設(shè)直線ln：y=kn（x+1），聯(lián)立x2﹣2nx+y2=0，

得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，

則△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，

∴kn（負值舍去），

可得xn，yn=kn（1+xn）；

(2)證明：，

由4n2>4n2﹣1，即為，

即有，

x1x3x5…x2n﹣1，

可得x1x3x5…x2n﹣1；

由，設(shè)f（x）=xcosx，

f′（x）=1sinx，由0，

可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，]遞增，

由f（0）0，f（）cos（coscos）<0，

可得xcosx，

即有cos，即cos，

則.