Question

【題目】設(shè)函數(shù)（x∈R，實數(shù)a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，）．

（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）若ex≥lnx+m對任意x＞0恒成立，求證：實數(shù)m的最大值大于2.3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明．

（Ⅰ）∵，f（x）≥0在x∈R上恒成立，∴a≤，

設(shè)h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，解得x=，

當x＞，即h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，

當x＜，即h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴h（x）min=h（）=，∴0＜a≤，

故a的取值范圍為；

（Ⅱ）設(shè)，

∴，g'（x）＞0，可得；g'（x）＜0，可得．

∴g（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．

∴g（x）≥g（）=，∵，

∴＞1.6，∴g（x）＞2.3．

由（Ⅰ）可得exx，

∴ex﹣lnx的最小值大于2.3，

故若ex≥lnx+m對任意x＞0恒成立，則m的最大值一定大于2.3．