Question

若y=sinx²+2cosx在區(qū)間[-

2π

3

，a]上的最小值為-

1

4

，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵y=sin²x+2cosx=1-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+2，
令t=cosx，得到：y=-（t-1）²+2，
當(dāng)x=-

2π

3

時，t=cos（-

2π

3

）=-

1

2

，
當(dāng)t=-

1

2

時，y=-

1

4

，
當(dāng)t=1時，y=2，
又由x∈[-

2π

3

，a]，
可知cosx∈[-

1

2

，1]，可使函數(shù)的值域為[-

1

4

，2]，
∴有a≥0，且a≤

2π

3

，從而可得a的取值范圍是：0≤a≤

2π

3

．
故答案為：[0，

2π

3

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．