Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x），若對(duì)于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），那么函數(shù)f（x）稱為“Ω函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①f（x）=cosx；
②f（x）=2^x；
③f（x）=x|x|；
④f（x）=ln（x²+1）．
其中“Ω函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得到，對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，從而得出f（x）在R上為增函數(shù)，這樣根據(jù)余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷每個(gè)函數(shù)在R上的單調(diào)性，從而便可得出“Ω函數(shù)”的個(gè)數(shù)．

解答 解：對(duì)于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立；
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
①f（x）=cosx在R上沒(méi)有單調(diào)性，∴該函數(shù)不是“Ω函數(shù)”；
②f（x）=2^x在R上為增函數(shù)，∴該函數(shù)是“Ω函數(shù)”；
③$f（x）=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且0²=-0²；
∴f（x）在R上為增函數(shù)，∴該函數(shù)是“Ω函數(shù)”；
④令x²+1=t，t≥1，則y=lnt在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而t=x²+1在R上沒(méi)有單調(diào)性；
∴f（x）在R上沒(méi)有單調(diào)性，∴該函數(shù)不是“Ω函數(shù)”；
∴“Ω函數(shù)”的個(gè)數(shù)是2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)的定義，余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．