Question

3．已知點(diǎn)A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由題意先求出準(zhǔn)線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點(diǎn)，并求導(dǎo)，得到切線AB的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式得到方程，解出方程求出切點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的斜率公式求出BF的斜率．

解答 解：∵點(diǎn)A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準(zhǔn)線上，
即準(zhǔn)線方程為：x=-2，
∴p＞0，
∴-$\frac{p}{2}$=-2即p=4，
∴拋物線C：y²=8x，在第一象限的方程為y=2$\sqrt{2}$$\sqrt{x}$，
設(shè)切點(diǎn)B（m，n），則n=2$\sqrt{2}\sqrt{m}$，
又導(dǎo)數(shù)y′=2$\sqrt{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}$，則在切點(diǎn)處的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$，
∴$\frac{n-3}{m+2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$即$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$m-3$\sqrt{m}$，
解得$\sqrt{m}$=2$\sqrt{2}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去），
∴切點(diǎn)B（8，8），又F（2，0），
∴直線BF的斜率為$\frac{8-0}{8-2}$=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線與拋物線相切，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等，是一道基礎(chǔ)題．