Question

5．已知拋物線y²=4x，點(diǎn)M（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線l過點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（1）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數(shù)；
（2）求△ANB面積的最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），（m＞0且m≠1）．根據(jù)（1）（2）推測(cè)：△ABC面積的最小值是多少？（不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，以及點(diǎn)滿足拋物線的方程，化簡(jiǎn)整理，討論直線l的斜率不存在，即可得證；
（2）求得S_△ABN=$\frac{1}{2}$|MN|•|y₁-y₂|，代入韋達(dá)定理，由不等式的性質(zhì)可得△ANB面積大于4；討論直線的斜率不存在時(shí)，面積為4，即可得到最小值；
（3）由（1），（2）推測(cè)：△ANB面積的最小值為4m$\sqrt{m}$．

解答 解：（1）證明：設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=1$．
即有（y₁y₂）²=16x₁x₂=16，
可得y₁y₂=-4，N（-1，0），
k_NA+k_NB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}+4}$+$\frac{4{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}+4}$=$\frac{4[{y}_{1}（{{y}_{2}}^{2}+4）+{y}_{2}（{{y}_{1}}^{2}+4）]}{（{{y}_{1}}^{2}+4）（{{y}_{2}}^{2}+4）}$
=$\frac{4（-4{y}_{2}+4{y}_{1}-4{y}_{1}+4{y}_{2}）}{（{{y}_{1}}^{2}+4）（{{y}_{2}}^{2}+4）}$=0．
又當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸，顯然k_NA+k_NB=0，即k_NA=-k_NB．
綜上，直線NA，NB的斜率互為相反數(shù)．
（2）S_△ABN=$\frac{1}{2}$|MN|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{4（{x}_{1}+{x}_{2}）+8}$=$4\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}＞4$．
當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，S_△NAB=4，即有△ABN面積的最小值等于4．
（3）推測(cè)：△ANB面積的最小值為4m$\sqrt{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，以及點(diǎn)滿足拋物線方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．