Question

已知點(diǎn)P（x，y）在圓x²+（y-1）²=1上，求（x-2）²+y²的最小值，

y+2

x+1

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：由已知得

x=cosθ y=1+sinθ

，0≤θ＜

π

2

，（x-2）²+y²=（cosθ-2）²+（sinθ+1）²=2

5

sin（θ+α）+6，由此能求出（x-2）²+y²的最小值；設(shè)

y+2

x+1

=k，則y-kx-k+2=0，圓心（0，1）到直線y-kx-k+2=0的距離小于等于半徑1，由此能求出

y+2

x+1

的最小值．

解答： 解：點(diǎn)P（x，y）在圓x²+（y-1）²=1上，
∴

x=cosθ y=1+sinθ

，0≤θ＜

π

2

，
∴（x-2）²+y²=（cosθ-2）²+（sinθ+1）²
=cos²θ-4cosθ+4+sin²θ+2sinθ+1
=2

5

sin（θ+α）+6，
∴（x-2）²+y²的最小值為6-2

5

．
設(shè)

y+2

x+1

=k，則y-kx-k+2=0，
∵P是圓和直線的公共點(diǎn)，
∴圓心（0，1）到直線y-kx-k+2=0的距離小于等于半徑1，
∴

|1-k+2|

k2+1

≤1，
解得k≥

4

3

，
∴

y+2

x+1

的最小值為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程的點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．