Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+2x-lnx（a≠0）．
（1）當a=3時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）將a=3代入化簡，求導，求解單調(diào)性，（2）由已知得f′（x）=ax+2-

1

x

，利用導數(shù)進行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＜0在正數(shù)范圍內(nèi)至少有一個解，結(jié)合根的判別式列式，不難得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=3時，函數(shù)f（x）=

3

2

x²+2x-lnx，（x＞0），
則f′（x）=3x-

1

x

+2=

3x2+2x-1

x

，
∵x＞0，
∴當3x²+2x-1＜0即0＜x＜

1

3

時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當3x²+2x-1≥0即x≥

1

3

時，f′（x）≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，
綜上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[

1

3

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

3

），
（2）f（x）=

1

2

ax²+2x-lnx，（x＞0），
f′（x）=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

，
依題意，得f'（x）＞0在（0，+∞）上有解．即ax^2₊2x-1＞0在x＞0時有解．
①顯然a≥0時，不等式有解，
②a＜0時，需滿足△=4+4a＞0，解得a＞-1，即-1＜a＜0，
綜合①②得a＞-1，
故a的取值范圍為：（-1，+∞）．

點評：本題主要考查實數(shù)取值范圍的求法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．