Question

17．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，且0$＜α＜β＜\frac{π}{2}$，則sinβ=$\frac{63}{65}$．

Answer 1

分析 根據(jù)α、β的范圍求出α-β的范圍，由平方關(guān)系求出sinα和sin（α-β），再由兩角差的正弦公式求出sinβ的值．

解答 解：∵0$＜α＜β＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{2}＜α-β＜0$，
∵cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=$\sqrt{1-{cos}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
sin（α-β）=-$\sqrt{1-{cos}^{2}（α-β）}$=-$\frac{5}{13}$，
則sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}-\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）$=$\frac{63}{65}$，
故答案為：$\frac{63}{65}$．

點評 本題考查由兩角差的正弦函數(shù)，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，注意角的范圍和角之間的關(guān)系，屬于中檔題．