Question

10．已知命題p：點(diǎn)M（a，a+1）在圓C：x²+（y-1）²=8的外部，命題q：不等式ax²-2（a+1）x+a+1＜0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立．若“p∨q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：點(diǎn)M（a，a+1）在圓C：x²+（y-1）²=8的外部，可得a²+（a+1-1）²＞8，解得a范圍．命題q：不等式ax²-2（a+1）x+a+1＜0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立．a(chǎn)=0時(shí)不成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4（a+1）^{2}-4a（a+1）＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．由于“p∨q”為假，可得p與q都為假命題．

解答 解：命題p：點(diǎn)M（a，a+1）在圓C：x²+（y-1）²=8的外部，∴a²+（a+1-1）²＞8，解得a＞2或a＜-2．
命題q：不等式ax²-2（a+1）x+a+1＜0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立．a(chǎn)=0時(shí)不成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4（a+1）^{2}-4a（a+1）＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-1．
∵“p∨q”為假，
∴p與q都為假命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤2．
∴a的取值范圍是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、一元二次不等式的解法與判別式的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．